109 台大資工所考古題詳解｜數學考點分析

題型與配分

全卷 3 頁、11 題、100 分。

作答方式：「請於試卷內之『非選擇題作答區』標明題號依序作答」。

離散數學考點（1–6）

• 第 1 題（5%）｜方程式在 a_i ≤ x_i ≤ b_i 的上下界限制下，其整數解個數的 generating function（要寫成 x^r 的係數形式）
• 第 2 題（5%）｜從 {1,…,n} 到 {1,…,m}（或其 power set）的函數個數
• 第 3 題（10%）｜n = 4、r = 8 時方程式的非負整數解個數
• 第 4 題（10%）｜非齊次 recurrence a_n = 3a_n−1 + n（a₁ = 1）的解
• 第 5 題（10%）｜承上題 recurrence 的 partial fraction 分解 generating function。題目註明像 (x−8)/(x−3)² 這種形式不算 partial fraction 分解
• 第 6 題（10%）｜證明一個 n ≥ 2 的不等式

線性代數考點（7–11，各 10%）

• 第 7 題｜四次多項式 f(x) = ax⁴+bx³+cx²+dx+e 在五個點的值已知，求 a, b, c, d, e
• 第 8 題｜給矩陣 B，求 BB^T − λI 在 λ = 0, 1, 2, 3, 4 時各自的 nullity
• 第 9 題｜給矩陣 A 與條件（B 在某 subspace U 上等於 A、在 U 外為 0），問矩陣 B 中元素 −2, −1, 0, 1, 2 各有幾個
• 第 10 題｜給 A，求滿足 ABA = A、BAB = B、(AB)^T = AB、(BA)^T = BA 的矩陣 B，問 B 中元素 −2, −1, 0, 1, 2 各有幾個
• 第 11 題｜求給定矩陣的 Jordan normal form，並問其中元素 0, 1, 2, 3, 4 各有幾個

作答時要注意的地方

1. 第 9、10、11 題都是數矩陣中各數值的個數，合計 30 分，整個矩陣要完整算出來才答得出。
2. 第 5 題明文排除 (x−8)/(x−3)² 這類形式，要拆到最簡的 partial fraction。
3. 第 6 題是離散部分唯一的證明題，10 分。

準備方向

• pseudo-inverse 在 106 第 5 題與 109 第 10 題都出現，第 10 題給的是它的四個定義條件。
• Jordan normal form 在 109 第 11 題考，十份卷子裡只有這一年。
• 非齊次 recurrence（第 4 題）。
• partial fraction 分解在 109、111、112、114 都有。