115 中山資工所考古題詳解｜數學考點分析

題型與配分

全卷 1 頁、13 題、100 分，不可使用計算機。

106 到 114 年的卷首都印著每題要寫詳細步驟，否則該題不給分，115 年沒有這句。

Simple-Answer Questions（A1–A10，每題 7%）

• A1｜ENGINEERING 這個字的字母 permutation 中，沒有兩個 E 相鄰的有幾種
• A2｜滿足 x + y + z = 10 且 x、y、z ∈ {1,2,3,4,5} 的三元組 (x,y,z) 有幾個
• A3｜100 到 999 的三位數中，可被 3 或 5 或 7 整除的有幾個
• A4｜1,066,601 與 343,033 的最大公因數
• A5｜石頭每步可以往右、往上或往右上走到相鄰方格（例如從 (1,1) 可到 (1,2)、(2,1) 或 (2,2)），在 5×5 的棋盤上，從左下角 (1,1) 走到右上角 (5,5) 有幾條路徑
• A6｜S = {1,2,…,9}，S 的 3 元素子集中沒有連續整數的有幾個（例如 {1,3,5} 可以、{1,2,8} 不行）
• A7｜使 2^x ≡ 1 (mod 13) 成立的最小正整數 x
• A8｜A = {1,2,…,9}，函數 f: A → A 同時滿足 f⁻¹({1,3}) = ∅、f⁻¹({4,6}) = {1,3,7}、f⁻¹({7,9}) = {8,9} 的有幾個
• A9｜Σ = {a, b, x, y}，L = ⋃_k=1⁵ Σ^k，L 中有幾個字串含有子字串 bay
• A10｜Adam 與 Eve 賭公正的遊戲，每局贏的人從輸的人拿 1 元，兩人起初各有 5 元，直到其中一人沒錢為止，期望的局數

Computation Questions（B1–B3，每題 10%）

• B1｜公正骰子擲 5 次，點數和為 15 的機率
• B2｜p、q、r 為 atomic proposition，建立 p ↔ [(q ∧ r) → ¬(p ∨ r)] 的 truth table（題目註明不需要說明）
• B3｜證明題：PleasantVille 裡任兩人不是互相認識就是陌生人，Adam、Bill、Chad、Dan、Elon、Fred 六人住在這裡，證明這六人中有三人彼此都認識，或三人彼此都是陌生人

作答時要注意的地方

1. A 區只寫答案，不用寫推導。
2. B2 題目註明不需要說明，B3 是全卷唯一的證明題。
3. A9 問的是含有子字串，110 年第 4 題與 112 年第 4 題問的是以某字串為真前綴。
4. A4 的兩個數字都超過三十萬，不能用計算機。

準備方向

• permutation 與不相鄰的計數（115 A1、A6），108 第 1 題、111 第 4 題也是計數題。
• 有界整數解與 inclusion-exclusion（115 A2、A3），109 第 5 題、110 第 8 題、112 第 6(b) 題、113 第 8 題也有。
• gcd 與數論（115 A4、A7），110 第 7 題、113 第 4 題也有。
• 格路徑與期望值（115 A5、A10），這兩種題型在 106 到 114 年沒有出現過。
• 帶原像限制的函數計數（115 A8），109 第 3 題、114 第 3 題也有函數個數。
• 字串計數（115 A9），110 第 4 題、112 第 4 題也有。
• 擲骰和的機率（115 B1），110 第 5 題也有。
• truth table（115 B2），108 第 2、3 題也有邏輯題。
• 六人互識或互不識（115 B3），屬於 pigeonhole 與存在性論證，106 第 1、5 題、108 第 5 題、109 第 4 題、110 第 3 題、111 第 1 題、112 第 3 題、114 第 4 題也有。