113 中山資工所考古題詳解｜數學考點分析

題型與配分

全卷 1 頁、10 題、100 分，不可使用計算機。卷首規定每題都要寫出詳細步驟，否則該題不給分。

逐題考點

• 第 1 題（10%）｜9 顆相同的白球放進 3 個相異的桶，第三個桶的球數為偶數，有幾種放法
• 第 2 題（10%）｜200 到 999 的 800 個三位數中，由左往右與由右往左讀都相同的數（如 222、363、505、989）稱為迴文，不實際列出所有迴文，求它們的總和
• 第 3 題（10%）｜證明質數的個數是無限的
• 第 4 題（10%）｜已知 a 與 b 互質，a 在模 b 下有 inverse a⁻¹ (mod b)，說明如何用 Euclidean algorithm 求出 a⁻¹（題目提示：若 c 是 a 與 b 的最大公因數，存在 x、y 使 ax + by = c）
• 第 5 題（10%）｜389,298 有多少種三因數的無序分解，每個因數都大於 1
• 第 6 題（10%）｜下列 f: Z×Z → Z 都是 Z 上的 closed binary operation，判斷是否 commutative 與 associative：(a) 5% f(x,y) = 7x + 17y − 119xy (b) 5% f(x,y) = x^3x+7 + y
• 第 7 題（10%）｜A = {3, 5, 9, 11, 13, 17}，A 上的 symmetric relation 中恰含 (a) 5% 三個有序對的有幾個 (b) 5% 六個有序對的有幾個
• 第 8 題（10%）｜2800 本相同的書，以 50 本為一包，分給 5 個學生團體，每組至少 200 本、至多 600 本，有幾種分法
• 第 9 題（10%）｜解 recurrence relation a_n+2 + a_n = 0，n ≥ 0，a₀ = 1，a₁ = 5
• 第 10 題（10%）｜用 generating function 的方法解 recurrence relation a_n+2 − 8a_n+1 + 15a_n = 0，n ≥ 0，a₀ = 1，a₁ = 6

作答時要注意的地方

1. 全卷 10 題，106、107 年是 7 題與 6 題，108 到 112 與 114 年是 8 或 9 題，115 年是 13 題。第 6、7 題各分兩個 5 分小題，其餘各題 10 分。
2. 第 10 題指定用 generating function，第 9 題沒有指定方法。
3. 第 2 題要求不實際列出所有迴文。
4. 第 4 題問的是如何用 Euclidean algorithm 求出 inverse，題目沒有給數字。
5. 第 5 題的 389,298 要用手算。

準備方向

• 球放入桶並加偶數限制（113 第 1 題），109 第 1 題、114 第 7 題也有。
• 數論證明與質數（113 第 3、5 題），110 第 2 題也是質因數的證明，106 第 7 題考質數與 binomial coefficient 的整除。
• modular inverse（113 第 4 題），107 第 5(b) 題、110 第 7 題也有。
• binary operation 與 symmetric relation 的計數（113 第 6、7 題），109 第 3 題、114 第 3 題、115 A8 也有函數與運算的計數。
• 有上下限的分配（113 第 8 題），109 第 5 題也有。
• recurrence relation（113 第 9、10 題），106 第 2 題也是用 generating function 解二階遞迴，107 第 3 題、109 第 7 題、110 第 6 題、111 第 6、7 題、112 第 7 題、114 第 6、9 題也有。
• 迴文（113 第 2 題的三位數迴文），111 第 4 題也有迴文，但那題是整數 n 的迴文。
• 經典定理的證明（113 第 3 題），110 第 2 題、114 第 2 題、115 B3 也有。