112 中山資工所考古題詳解｜數學考點分析

題型與配分

全卷 1 頁、8 題、100 分，不可使用計算機。卷首規定每題都要寫出詳細步驟，否則該題不給分。每個小題 10 分。

逐題考點

• 第 1 題（10%）｜(3a − b + 5c + 3d − 8)²⁵ 展開式中 ab⁶c⁸d⁵ 的係數
• 第 2 題（10%）｜證明對任意 n ∈ Z⁺，12n+17 與 8n+11 互質
• 第 3 題（10%）｜公司有 25 間倉庫，每間大小都不相同，問至少有多少間倉庫可以排成一列連續的物流集貨點，且前一個集貨點的空間必須比後一個大
• 第 4 題（10%）｜Σ = {t, v, w, x, y, z}，A = ⋃_n=1¹¹ Σⁿ，A 中有多少字串以 xyz 為真前綴
• 第 5 題（10%）｜求 a_n = (−1)ⁿ、b_n = (−1)ⁿ、c_n = 1ⁿ（n ∈ N）三個數列的 convolution 公式
• 第 6 題（20%）｜船上有 60 面旗，紅、白、藍、黑各 15 面，選 15 面掛在旗桿上傳遞訊號：(a) 10% 黑旗為奇數面且紅旗為偶數面的訊號數 (b) 10% 至少有 5 面白旗或完全沒有藍旗的訊號數
• 第 7 題（20%）｜n 個車位排成一列，機車佔 1 格、汽車佔 3 格：(a) 10% 求停法數的 recurrence relation 並解出 (b) 10% 汽車有四種顏色時，求 recurrence relation 並解出
• 第 8 題（10%）｜a、b、n ∈ Z⁺ 且 n > 1，證明 a ≡ b (mod n) ⇒ gcd(a,n) = gcd(b,n)

作答時要注意的地方

1. 第 6、7 題各 20 分，各分成兩個 10 分的小題，其餘 4 題各 10 分。
2. 第 8 題與 109 年第 9 題的敘述完全相同。
3. 第 4 題的 Σ 與 A 的寫法與 110 年第 4 題相同，字母數、前綴與長度上限改了。
4. 第 7 題 (b) 的四種顏色是汽車的顏色。

準備方向

• 多項式展開的係數（112 第 1 題），108 第 7 題也考係數。
• 互質與 congruence 的證明（112 第 2、8 題），108 第 8 題、109 第 2、9 題也有。
• 遞減子序列（112 第 3 題），114 第 4 題也有，同屬 Erdős–Szekeres 型的題目。
• 字串前綴計數（112 第 4 題），110 第 4 題、115 A9 也有。
• convolution 與 generating function（112 第 5 題），109 第 6 題、113 第 10 題也有。
• 符號個數的奇偶限制（112 第 6(a) 題），111 第 5 題、114 第 8 題也有。
• inclusion-exclusion（112 第 6(b) 題），109 第 5 題、113 第 8 題、115 A3 也有。
• 停車與 scheduling 的遞迴（112 第 7 題），114 第 6 題也有，111 第 6 題、113 第 9、10 題也是遞迴。