中央資工所數學考古題十年大統整（106–115）
題型演變
| 年度 | 頁數 | 題數 | 卷面結構 | 特色 |
|---|---|---|---|---|
| 106 | 5 | 20 | 離散單選 1–10（50）→ 線代多選 11–20（50） | 唯一有「半卷不倒扣」的一年 |
| 107 | 6 | 20 | 離散多選 1–10（50）→ 線代多選 11–20（50） | 100 分全部逐選項倒扣，十年最嚴 |
| 108 | 4 | 20 | 五段：離散單選／離散多選／線代多選／線代單選／線代多選 | 一張卷子五種計分方式；首次明訂「扣到該大題 0 分為止」 |
| 109 | 5 | 50 | 線代是非 1–30（30）／線代 31–40（20）／離散單選 41–50（50） | 題數最多；離散 50 分明訂不倒扣 |
| 110 | 7 | 40 | 離散多選 1–10（50）／線代複選 11–15（5）／線代單選 16–35（20）／線代多選 36–40（25） | 出現「全對才給分」的複選題 |
| 111 | 5 | 20 | 離散多選 1–10（50）／線代多選 11–12、16–20（35）／線代單選 13–15（15） | 線代題號不連續，三個倒扣池 |
| 112 | 6 | 20 | 多選 1–13（65）→ 單選 14–20（35） | 單選全是「算完再 mod 5」 |
| 113 | 7 | 20 | 線代單選 1–10（50）→ 離散多選 11–20（50） | 與 112 結構對調；圖論一口氣 25 分 |
| 114 | 9 | 20 | 線代單選 1–4（20）→ 多選 5–20（80） | 頁數最多；逐選項倒扣佔 80 分 |
| 115 | 7 | 20 | 線代多選 1–5（25）／線代單選 6–10（25）／離散多選 11–20（50） | 三個獨立倒扣池；線代理論題回歸 |
112 年起「離散在前、線代在後」的順序被打亂：112 是離散先、113 與 114 是線代先、115 又切成線代理論 → 線代計算 → 離散三段。不要假設今年的順序跟去年一樣。
倒扣規則逐年對照
| 年度 | 多選／複選 | 單選／是非 | 有無「扣到 0 為止」 |
|---|---|---|---|
| 106 | 每選項 +1 / −1 / 0 | 1–10 無倒扣 | 未明訂 |
| 107 | 每選項 +1 / −1 / 0（全卷） | 無單選 | 未明訂 |
| 108 | 6–10、11–12、16–20 每選項 ±1 | 1–5、13–15 無倒扣 | 6–10、16–20 明訂 |
| 109 | 無多選 | 1–30 錯 −1；31–40 錯 −2；41–50 不倒扣 | 未明訂 |
| 110 | 1–10、36–40 每選項 ±1；11–15 全對才給分、錯 −1 | 16–35 錯 −1 | 四段各自觸底 |
| 111 | 1–10、11–12＋16–20 每選項 ±1 | 13–15 錯 −2 | 三段各自觸底 |
| 112 | 1–13 每選項 −1 | 14–20 錯 −2 | 兩段各自觸底 |
| 113 | 11–20 每選項 −1 | 1–10 錯 −2 | 兩段各自觸底 |
| 114 | 5–20 每選項 −1（80 分） | 1–4 錯 −2 | 兩段各自觸底 |
| 115 | 1–5、11–20 每選項 −1 | 6–10 錯 −2 | 三段各自觸底 |
可以歸納出的兩條趨勢：
- 108 年起「扣到該大題 0 分為止」成為常態，而且倒扣池越切越細（110 年四段、111 與 115 年三段）。這對考生其實是好消息——某一段崩盤不會拖累其他段，所以「先攻自己最強的那一段拿滿」的策略價值逐年提高。
- 111 年起單選的倒扣統一成「答錯倒扣 2 分」（111、112、113、114、115 連五年），而多選統一成「每選項倒扣 1 分」。單選亂猜的期望值是 (5 − 2×4)/5 = −0.6 分，多選每個沒把握的選項期望值是 0——所以單選不會就空白，多選則是「確定的才勾」。
重複出題清單
這是中央最好用的部分——同一個題目模板連續好幾年換數字重出。
| 題目模板 | 出現年度 |
|---|---|
| 給關係矩陣判斷 reflexive／anti-symmetric／transitive／偏序 | 106 第 6 題、109 第 44 題、112 第 1 題、114 第 11 題 |
| 三種閉包（reflexive／symmetric／transitive） | 106 第 6 題、112 第 2 題、114 第 11–12 題 |
| 「把關係對應到運算子」（布林／集合運算） | 112 第 4 題（布林）、114 第 12 題（集合） |
array2/3/4 + i mod 9 的遞迴 pseudo-code | 112 第 7、8 題（求複雜度）、114 第 14 題（反推 B 的上限） |
| 把演算法複雜度放進數學考科 | 106 第 5、8 題、107 第 7、8 題、108 第 7 題、110 第 9 題、111 第 8 題、112 第 7、8 題、114 第 14 題、115 第 11 題 |
| 生成函數解二階遞迴 | 107 第 10 題、110 第 10 題、111 第 10 題、112 第 10 題、113 第 20 題、114 第 15 題、115 第 13 題 |
| Hasse 圖／整除關係構成的偏序集是否為格 | 107 第 5 題、108 第 4 題、110 第 4 題、114 第 13 題 |
| 可數／不可數與基數比較 | 106 第 3 題、107 第 2 題、109 第 42 題、110 第 2、7 題、115 第 14、15 題 |
| 費馬小定理與 3302 mod p | 108 第 3 題、109 第 43 題 |
| RSA 的公私鑰方向（選項刻意寫反） | 110 第 3(E) 題、111 第 3(D) 題 |
| 平面圖 Euler 公式／Kuratowski 定理 | 110 第 5 題、111 第 4 題、113 第 11 題、114 第 20 題、115 第 20 題 |
| Euler circuit 的度數判定（Cn／Wn／Kn／Km,n／Qn） | 107 第 4 題、113 第 15 題、114 第 16 題、115 第 18 題 |
| 相似矩陣的性質（det、A2、AT、A−1、AB~BA） | 109 第 16–20 題、111 第 16 題、112 第 13 題、114 第 6 題 |
| 「可對角化」的常見誤解（相異特徵值／可逆／AT） | 107 第 12 題、109 第 21–25 題、110 第 16–35 題、111 第 17 題 |
| 對稱矩陣有完整正交單位特徵向量組 | 107 第 14 題、111 第 11 題、112 第 11 題、114 第 7 題、115 第 5 題 |
W ∩ W⊥ = ∅ 的空集合陷阱（應為 {0}） | 107 第 13(D) 題、111 第 18(D) 題 |
| Gram-Schmidt 求正交基底 | 106 第 18 題、112 第 17 題、113 第 7 題、114 第 2 題、115 第 7 題 |
| 最小平方解／投影到行空間 | 106 第 19 題、111 第 14 題、112 第 19 題、113 第 10 題、115 第 9 題 |
| 譜分解／SVD | 107 第 14、15 題、111 第 20 題、114 第 8(e) 題 |
| 讀 pseudo-code 或程式碼判斷矩陣運算 | 107 第 16、20 題（Gauss-Jordan、LU）、110 第 40 題（Python）、112 第 15 題（Matlab） |
| 基底變換／轉移矩陣 | 112 第 16 題、113 第 2 題、114 第 1 題、115 第 10 題 |
主題出現年度一覽
| 主題 | 出現年度 |
|---|---|
| 關係、閉包、偏序、格 | 106、107、108、109、110、112、113、114 |
| 圖論（Euler／Hamilton／平面圖／連通度） | 106、107、110、111、113、114、115 |
| 遞迴式與生成函數 | 107、110、111、112、113、114、115 |
| 演算法複雜度（Master Theorem） | 106、107、108、110、111、112、114、115 |
| 計數與組合（排容、鴿籠、二項式） | 107、111、112、113、114、115 |
| 命題／述詞邏輯與量詞 | 106、107、109、111、112、115 |
| 基數與可數性 | 106、107、109、110、115 |
| 數論（同餘、費馬小定理、RSA） | 108、109、110、111 |
| 矩陣性質與行列式 | 106、107、108、109、110、111、112、114、115 |
| 特徵值、可對角化、相似 | 106、107、108、109、110、111、112、114、115 |
| 正交性、Gram-Schmidt、QR | 106、107、111、112、113、114、115 |
| 最小平方與投影 | 106、111、112、113、115 |
| 矩陣分解的必要條件（LU／QR／SVD／Cholesky） | 107、110、111、113、114、115 |
| 數學史與基礎 | 115（唯一一次） |
必守的五個主題
- 關係與它的三種閉包 —— 106、109、112、114 都考，而且 112 與 114 都是「一個矩陣連考兩到四題」，一次押中就是 10–20 分。要會手算 reflexive closure（補主對角線）、symmetric closure（補 AT）、transitive closure（Warshall），並判斷閉包後是否成為偏序／等價關係。
- 生成函數解二階常係數遞迴 —— 112、113、114、115 連續四年必考，而且形式完全固定：給 an 的遞迴與兩個初始值，選項是「G(z) 的等式 → 部分分式 → 封閉解」三段。把這三步練成反射動作，等於每年穩拿 5 分。
- Master Theorem 與 pseudo-code 讀解 —— 中央十年有八年把演算法複雜度放進數學考科，而且 112 與 114 用的是同一段 pseudo-code（
call B、i mod 9、array2/3/4）。要能從程式碼直接寫出T(n) = aT(n/b) + f(n)並判斷落在哪個 case。115 第 11 題的 case 2（T(n) = 2T(n/4) + Θ(√n) → Θ(√n log n)）是最容易算錯的一型。
- 圖論的充要條件成對背 —— Euler circuit ⟺ 連通且所有度數為偶（114、115 連兩年）、Hamiltonian ⇒ 2-connected 但反向不成立（115）、二分圖 ⟺ 無奇圈（115）、Km,n Hamiltonian ⟺ m = n > 1（113）、Kuratowski 定理（111、115）、m ≤ 3n − 6（111、115）。中央近三年的圖論比重明顯上升，113 佔 25 分、115 佔 20 分。
- 線代的「性質判斷」而不是「計算」 —— 106、107、109、110、111、115 的線代主力都是判斷題。最愛考的四個反例要背死：
- A、B 皆可對角化 ⇏ AB 可對角化（108 第 12 題）
- 元素全為正的對稱矩陣 ⇏ 正定（108 第 12 題，反例 [[1,2],[2,1]]）
- 有重複特徵值 ⇏ 不可對角化（111 第 17 題、112 第 11 題）
- A2 相似於 B2 ⇏ A 相似於 B（111 第 16 題）
給 116 年考生的策略
- 進場先讀計分規則，再決定作答順序。 中央十年沒有一年的計分方式完全相同，而 111 年起倒扣池越切越細——先確認自己最強的那一段落在哪個池子，把它拿滿。
- 單選不會就空白。 111–115 連五年單選都是「答錯倒扣 2 分」，亂猜期望值 −0.6 分。多選則是逐選項判斷，沒把握的選項不勾，期望值就是 0，不會虧。
- 112 年起「算完再 mod 5」成為線代單選的固定格式（112、113、114、115 連四年），意思是你必須真的把矩陣算到底，而且禁用計算器。Gram-Schmidt、QR、最小平方、正交對角化、基底變換這五套流程要練到五分鐘內手算完成。
- 115 年的線代理論多選（第 1–5 題）是十年來最好拿的 25 分，如果 116 年延續這個設計，務必優先把它做完再回頭算單選。
- 離散的比重穩定在 50 分，但內容重心從「數論／基數」移向「圖論／遞迴」：108–111 年愛考費馬小定理與 RSA，113–115 年則改壓圖論與生成函數。兩邊都要準備，但圖論是近三年的主戰場。
- 科目全名「離散數學與線性代數」，所別「資工類」，禁用計算器，作答於答案卡——十年不變。
本頁的題型、配分、倒扣規則均直接取自各年度試卷標示；主題出現年度與重複題比對為逐題整理。若發現有誤，歡迎來信指正。