資工所考古題詳解中央資工所考古題詳解數學十年大統整（106–115）
各章配分
表中數字是各題的卷面配分，依主題加總。是非題組（例如 109 第 1–5 題）整組算一筆，一題的幾個選項分屬不同主題時，算在多數選項所屬的主題。離散與線代分開列，各自依十年合計排序，顏色越深，占當年總分的比例越高。演算法複雜度的題目算在離散的 Recurrences。
| 章／細項 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 合計 | 占比 | 年數 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Discrete Mathematics | 50 | 50 | 50 | 50 | 50 | 50 | 50 | 50 | 50 | 50 | 500 | 50% | 10 |
| Sets, Relations & Functions | 15 | 15 | 20 | 10 | 20 | 10 | 10 | 10 | 15 | 5 | 130 | 13% | 10 |
| Relations | 5 | 5 | 5 | 5 | 10 | 5 | 10 | 45 | 4% | 7 | |||
| Functions | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 35 | 4% | 7 | |||
| Partial Orders & Lattices | 5 | 10 | 5 | 5 | 5 | 30 | 3% | 5 | |||||
| Sets | 5 | 5 | 5 | 5 | 20 | 2% | 4 | ||||||
| Recurrences & Generating Functions | 10 | 10 | 15 | 10 | 10 | 10 | 20 | 10 | 15 | 15 | 125 | 12% | 10 |
| Other Recurrences | 10 | 5 | 5 | 5 | 5 | 10 | 5 | 5 | 5 | 55 | 6% | 9 | |
| Generating Functions | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 40 | 4% | 8 | ||
| Linear Recurrence Relations | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 30 | 3% | 6 | ||||
| Graph Theory | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 10 | 10 | 25 | 20 | 20 | 110 | 11% | 10 |
| Graph Basics & Isomorphism | 5 | 5 | 5 | 5 | 10 | 15 | 10 | 55 | 6% | 7 | |||
| Planar Graphs | 5 | 5 | 5 | 5 | 20 | 2% | 4 | ||||||
| Euler & Hamilton | 5 | 5 | 10 | 20 | 2% | 3 | |||||||
| Graph Algorithms | 5 | 5 | <1% | 1 | |||||||||
| Trees | 5 | 5 | <1% | 1 | |||||||||
| Bipartite Graphs & Matching | 5 | 5 | <1% | 1 | |||||||||
| Logic & Proofs | 15 | 15 | 5 | 5 | 5 | 5 | 10 | 5 | 65 | 6% | 8 | ||
| Propositional & Predicate Logic | 10 | 10 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 50 | 5% | 8 | ||
| Proof Techniques & Induction | 5 | 5 | 5 | 15 | 2% | 3 | |||||||
| Counting | 5 | 5 | 5 | 10 | 25 | 2% | 4 | ||||||
| Permutations & Combinations | 5 | 5 | 10 | 1% | 2 | ||||||||
| Pigeonhole Principle | 5 | 5 | 10 | 1% | 2 | ||||||||
| Binomial Identities | 5 | 5 | <1% | 1 | |||||||||
| Other | 10 | 5 | 5 | 5 | 25 | 2% | 4 | ||||||
| Number Theory | 5 | 5 | 5 | 5 | 20 | 2% | 4 | ||||||
| Modular Arithmetic | 5 | 5 | 5 | 5 | 20 | 2% | 4 | ||||||
| Linear Algebra | 50 | 50 | 50 | 50 | 50 | 50 | 50 | 50 | 50 | 50 | 500 | 50% | 10 |
| Eigenvalues & Diagonalization | 10 | 5 | 15 | 10 | 5 | 15 | 10 | 15 | 15 | 5 | 105 | 10% | 10 |
| Diagonalization & Similarity | 5 | 5 | 5 | 10 | 5 | 5 | 5 | 40 | 4% | 7 | |||
| Eigenvalues & Eigenvectors | 5 | 10 | 5 | 5 | 5 | 5 | 35 | 4% | 6 | ||||
| Matrix Powers & Functions | 5 | 5 | 5 | 5 | 20 | 2% | 4 | ||||||
| Cayley-Hamilton & Minimal Polynomial | 5 | 5 | 10 | 1% | 2 | ||||||||
| Inner Product Spaces | 10 | 5 | 5 | 15 | 5 | 10 | 10 | 15 | 5 | 15 | 95 | 10% | 10 |
| Gram-Schmidt & QR | 5 | 10 | 5 | 5 | 5 | 5 | 35 | 4% | 6 | ||||
| Least Squares | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 30 | 3% | 6 | ||||
| Orthogonal Projection & Complement | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 25 | 2% | 5 | |||||
| Inner Products & Norms | 5 | 5 | <1% | 1 | |||||||||
| Symmetric & Normal Matrices | 5 | 10 | 15 | 10 | 15 | 10 | 10 | 5 | 80 | 8% | 8 | ||
| Spectral Theorem & Orthogonal Diagonalization | 5 | 5 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 5 | 65 | 6% | 8 | ||
| Positive Definite & Quadratic Forms | 5 | 5 | 10 | 1% | 2 | ||||||||
| SVD & Pseudo-inverse | 5 | 5 | <1% | 1 | |||||||||
| Matrices & Linear Systems | 5 | 10 | 15 | 5 | 10 | 5 | 5 | 10 | 5 | 70 | 7% | 9 | |
| Linear Systems & Row Reduction | 5 | 10 | 5 | 10 | 5 | 5 | 5 | 45 | 4% | 7 | |||
| Matrix Inverse | 10 | 5 | 15 | 2% | 2 | ||||||||
| Matrix Algebra & Special Matrices | 5 | 5 | 10 | 1% | 2 | ||||||||
| Vector Spaces | 10 | 10 | 5 | 10 | 5 | 5 | 5 | 5 | 55 | 6% | 8 | ||
| Basis, Dimension & Coordinates | 5 | 5 | 10 | 5 | 25 | 2% | 4 | ||||||
| Rank & Nullity | 5 | 5 | 5 | 15 | 2% | 3 | |||||||
| Linear Independence & Span | 5 | 5 | 10 | 1% | 2 | ||||||||
| Subspaces & Direct Sums | 5 | 5 | <1% | 1 | |||||||||
| Linear Transformations | 5 | 5 | 10 | 5 | 5 | 5 | 5 | 10 | 50 | 5% | 8 | ||
| Matrix Representation & Change of Basis | 5 | 10 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 40 | 4% | 7 | |||
| Linearity, Kernel & Range | 5 | 5 | 10 | 1% | 2 | ||||||||
| Determinants | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 10 | 45 | 4% | 8 |
離散這邊 Sets, Relations & Functions（130 分）與 Recurrences & Generating Functions（125 分）十年每年都有，Graph Theory（110 分）近三年每年 20–25 分。線代這邊十年每年都有的是 Eigenvalues & Diagonalization（105 分）與 Inner Product Spaces（95 分）。
重複出題清單
中央同一個題目模板常連續好幾年換數字再出：
| 題目模板 | 出現年度 |
|---|---|
| 給 relation 矩陣，判斷 reflexive／anti-symmetric／transitive／partial order | 109 第 44 題、112 第 1 題、114 第 11 題 |
| reflexive、symmetric、transitive closure | 106 第 6 題（reflexive、symmetric）、112 第 1–4 題、114 第 11、12 題（transitive） |
| 把 relation 對應到運算子（Boolean、集合運算） | 112 第 4 題（Boolean）、114 第 12 題（集合） |
array2/3/4 加 i mod 9 的遞迴 pseudo-code | 112 第 7、8 題（求複雜度）、114 第 14 題（反推 B 的上限） |
| 切成若干段、遞迴其中幾段、再合併的複雜度分析 | 106 第 8 題、107 第 7 題、108 第 7 題、109 第 48 題、111 第 8 題、112 第 7、8 題、114 第 14 題、115 第 11 題 |
| 把演算法複雜度放進數學考科 | 106 第 5、8 題、107 第 7 題、108 第 7 題、109 第 48 題、110 第 9 題、111 第 8 題、112 第 7、8 題、113 第 19(a) 題、114 第 14 題、115 第 11 題 |
| generating function 解二階 recurrence | 107 第 10 題、108 第 10 題、110 第 10 題、111 第 10 題、112 第 10 題、113 第 20 題、114 第 15 題、115 第 13 題 |
| Hasse diagram、整除關係構成的 poset 是否為 lattice | 107 第 5 題、108 第 4 題、110 第 4 題、114 第 13 題 |
| countable、uncountable 與 cardinality 比較 | 106 第 3 題、107 第 2 題、109 第 42 題、110 第 2、7 題、115 第 14、15 題 |
| Fermat's little theorem 與 3302 mod p | 108 第 3 題、109 第 43 題 |
| RSA 的加密、解密與簽章所用的金鑰 | 110 第 3(E) 題、111 第 3 題 |
| planar graph 的 Euler 公式、Kuratowski's theorem | 110 第 5 題、111 第 4 題、113 第 11 題、114 第 20 題、115 第 20 題 |
| Euler circuit 的 degree 判定（Cn／Wn／Kn／Km,n／Qn） | 114 第 16 題、115 第 18 題（113 第 15 題是 Hamiltonian／Eulerian 的五個敘述，其中兩項問 Km,n） |
| function 個數（function、1-1、onto、bijection） | 107 第 8 題、111 第 6 題、113 第 17 題 |
| predicate D(x,y)（y 是 x 的倍數）翻成自然語言 | 106 第 7 題、115 第 12 題 |
| similar matrices 的性質（det、A2、AT、A−1、AB~BA） | 109 第 16–20 題、111 第 16 題、112 第 13 題、114 第 6 題 |
| diagonalizable 的常見誤解（相異 eigenvalue、可逆、AT） | 107 第 12 題、108 第 12 題、109 第 21–25 題、110 第 16–20 題、111 第 17 題 |
| symmetric matrix 的 orthonormal eigenvector 組、orthogonal diagonalization | 107 第 14 題、108 第 20 題、111 第 11 題、112 第 11、20 題、114 第 7 題、115 第 5 題 |
| W ∩ W⊥ 的集合表示（記號細節） | 107 第 13(E) 題、111 第 18(D) 題 |
| Gram-Schmidt、QR decomposition | 106 第 18 題、109 第 36–40 題、112 第 17 題、113 第 7 題、114 第 2 題、115 第 7 題 |
| least squares solution、projection onto column space | 106 第 19 題、108 第 17 題、110 第 26–30 題、111 第 14、19 題、112 第 19 題、113 第 10 題、115 第 9 題 |
| spectral decomposition、SVD | 107 第 14、15 題、108 第 18 題、110 第 11–15 題、111 第 20 題、114 第 8(e) 題 |
| 讀 pseudo-code 或程式碼判斷矩陣運算 | 107 第 16、20 題（Gauss-Jordan、LU）、110 第 40 題（Python）、112 第 15 題（Matlab） |
| matrix power、矩陣多項式 | 112 第 18 題、113 第 6 題、114 第 3 題、115 第 6 題 |
| change of basis、transition matrix | 109 第 31–35 題、110 第 21–25 題、112 第 16 題、113 第 2 題、114 第 1 題、115 第 10 題 |
優先準備的五個主題
- Relation 與它的三種 closure。106、109、112、114 都考，112 與 114 還是一個矩陣連考兩到四題，一次押中就是 10–20 分。三種 closure 都要能手算，並判斷 closure 之後是不是 partial order 或 equivalence relation。
- Generating function 解二階常係數 recurrence。除了 109 年，107 到 115 年每年都考，110 到 115 連續六年，形式也固定：給 an 的 recurrence 和兩個初始值（112 年的 recurrence 由第 9 題給出），選項大致依序問 G(z) 的等式、部分分式、封閉解。
- Master theorem 與 pseudo-code 讀解。十年每年都有複雜度的題目（113 年只有第 19 題 (a) 問 Euclid 演算法），其中 106、107、108、109、111、112、114、115 八年是切成若干段、遞迴其中幾段、再合併的同一種模板，112 與 114 還用了同一段 pseudo-code（
call B、i mod 9、array2/3/4）。要能從程式碼直接寫出 recurrence，並判斷落在哪個 case。 - Graph theory 的充要條件要成對背。Euler circuit（113 第 15 題、114 第 16 題、115 第 18 題連三年）、connectivity（114）、Hamiltonian 與 2-connected（115）、bipartite graph（115）、complete bipartite graph 的 Hamilton／Euler 條件（113）、Kuratowski's theorem（111、115）、planar graph 的邊數上界（111、115）。
- 線代的性質判斷。106 到 111 年與 115 年的線代主力都是判斷題，常見的推廣命題：
- 兩個 diagonalizable 矩陣的乘積（108 第 12 題）
- 元素全正的 symmetric matrix 與 positive definite（108 第 12 題）
- 重複 eigenvalue 與 diagonalizable（111 第 17 題、112 第 11 題）
- similar matrices 的平方與原矩陣的關係（111 第 16 題）
題型演變
| 年度 | 頁數 | 題數 | 卷面結構 | 特色 |
|---|---|---|---|---|
| 106 | 5 | 20 | 離散單選 1–10（50）→ 線代多選 11–20（50） | 單選卷面未標示倒扣，多選逐選項倒扣 |
| 107 | 6 | 20 | 離散多選 1–10（50）→ 線代多選 11–20（50） | 100 分全部逐選項倒扣 |
| 108 | 4 | 20 | 五段：離散單選／離散多選／線代多選／線代單選／線代多選 | 五個區段；第一次明訂「扣到該大題 0 分為止」 |
| 109 | 5 | 50 | 線代是非 1–30（30）／線代 31–40（20）／離散單選 41–50（50） | 題數最多；離散 50 分明訂不倒扣 |
| 110 | 7 | 40 | 離散多選 1–10（50）／線代複選 11–15（5）／線代單選 16–35（20）／線代多選 36–40（25） | 出現「全對才給分」的複選題 |
| 111 | 5 | 20 | 離散多選 1–10（50）／線代多選 11–12、16–20（35）／線代單選 13–15（15） | 線代題號不連續，三個倒扣池 |
| 112 | 6 | 20 | 多選 1–13（65）→ 單選 14–20（35） | 單選全是「算完再 mod 5」 |
| 113 | 7 | 20 | 線代單選 1–10（50）→ 離散多選 11–20（50） | 與 112 結構對調；graph theory 一口氣 25 分 |
| 114 | 9 | 20 | 線代單選 1–4（20）→ 多選 5–20（80） | 頁數最多；逐選項倒扣佔 80 分 |
| 115 | 7 | 20 | 線代多選 1–5（25）／線代單選 6–10（25）／離散多選 11–20（50） | 三個獨立倒扣池；線代理論多選 1–5 題 |
卷面順序各年不同：106、107、108、110、111、112 年離散在前、線代在後；109、113、114、115 年線代在前、離散在後，其中 115 年線代再分成理論多選與計算單選兩段。
倒扣規則逐年對照
| 年度 | 多選／複選 | 單選／是非 | 有無「扣到 0 為止」 |
|---|---|---|---|
| 106 | 每選項 +1／−1／0 | 1–10 卷面未標示倒扣 | 未明訂 |
| 107 | 每選項 +1／−1／0（全卷） | 無單選 | 未明訂 |
| 108 | 6–10、11–12、16–20 每選項 ±1 | 1–5、13–15 卷面未標示倒扣 | 6–10、16–20 明訂 |
| 109 | 無多選 | 1–30 錯 −1；31–40 錯 −2；41–50 不倒扣 | 未明訂 |
| 110 | 1–10、36–40 每選項 ±1；11–15 全對才給分、錯 −1 | 16–35 錯 −1 | 四段各自觸底 |
| 111 | 1–10、11–12＋16–20 每選項 ±1 | 13–15 錯 −2 | 三段各自觸底 |
| 112 | 1–13 每選項 −1 | 14–20 錯 −2 | 兩段各自觸底 |
| 113 | 11–20 每選項 −1 | 1–10 錯 −2 | 兩段各自觸底 |
| 114 | 5–20 每選項 −1（80 分） | 1–4 錯 −2 | 兩段各自觸底 |
| 115 | 1–5、11–20 每選項 −1 | 6–10 錯 −2 | 三段各自觸底 |
這張表有兩個趨勢：
- 108 年起，除了 109 年，每年都明訂「扣到該大題 0 分為止」。倒扣池的切法每年不同（110 年四段，111 與 115 年三段，112 到 114 年兩段），某一段扣光不會拖累其他段。
- 111 年起單選統一成答錯倒扣 2 分（111 到 115 連五年），多選統一成每選項倒扣 1 分。單選亂猜的期望值是 (5 − 2×4)/5 = −0.6 分，多選裡沒把握的選項期望值是 0。
給 116 年考生的準備方向
- 進場先讀計分規則，再決定作答順序。十年的計分方式幾乎年年不同（只有 112、113、114 三年規則相同，題數與配分不同），倒扣池的切法也每年不同，先確認自己最強的那一段在哪個池子，把它拿滿。
- 單選不會就空白。111 到 115 連五年單選都是答錯倒扣 2 分，亂猜期望值 −0.6 分。多選逐選項判斷，沒把握的不勾，期望值是 0。
- 112 到 115 年線代單選幾乎都是算完再 mod 5（113 第 5 題直接問 dimension），所以矩陣要真的算到底。113、114、115 年卷首寫禁用計算器，112 年卷面沒寫。Gram-Schmidt、QR、least squares、orthogonal diagonalization、change of basis 這五套流程，要練到五分鐘內手算完。matrix power 與矩陣多項式也是 112 到 115 年每年一題。
- 115 年線代理論多選（第 1–5 題）涵蓋 determinant、vector space、linear transformation、orthogonality、Hermitian 矩陣五個主題，不用手算。如果 116 年延續，先把它做完再回頭算單選。
- 離散的比重穩定在 50 分，但重心從數論、cardinality 移向 graph theory。108–111 年考 Fermat's little theorem 和 RSA，113–115 年 graph theory 每年 20–25 分；generating function 則是 107 到 115 年（109 除外）每年都有。兩邊都要準備，graph theory 是近三年的重點。
本頁的題型、配分、倒扣規則都取自各年度試卷上的標示，各章配分與重複題是逐題整理的。如果發現有誤，歡迎來信指正。
最後更新：2026-10-23